En matemáticas, las combinaciones y permutaciones son conceptos que se estudian al mismo tiempo debido a su similitud. Ambos conceptos se refieren a colecciones de objetos, pero difieren en la forma en que se ordenan o seleccionan esos objetos.
Combinaciones son colecciones de objetos donde el orden no importa. Por ejemplo, si tenemos un grupo de 20 personas y queremos elegir a 4 de ellas, estamos hablando de una combinación. No importa en qué orden seleccionemos a esas 4 personas, seguirá siendo el mismo grupo.
Permutaciones, por otro lado, son disposiciones de un grupo de objetos donde el orden sí importa. Por ejemplo, si tenemos un código de identificación de empleado de 4 dígitos, como 4793, cambiar el orden de los dígitos resultará en un número de identificación diferente. En este caso, estamos hablando de una permutación.
Antes de profundizar en las fórmulas para calcular combinaciones y permutaciones, es importante comprender el concepto de factorial. El factorial de un número se representa con el símbolo "!" y se calcula multiplicando todos los números enteros desde ese número hasta 1.
Por ejemplo, el factorial de 4 se calcula como 4 3 2 * 1 = 24.
Ahora, veamos las fórmulas para calcular combinaciones y permutaciones en diferentes escenarios.
Fórmulas de Combinación
Cuando se trata de fórmulas de combinación, hay dos escenarios que debemos considerar: cuando se permite la repetición y cuando no se permite la repetición.
Cuando no se permite la repetición, utilizamos la siguiente fórmula:
n! / (r! * (n - r)!)
Donde:
- n es el número total de objetos.
- r es el número de objetos que queremos seleccionar.
Cuando se permite la repetición, utilizamos la siguiente fórmula:
(n + r - 1)! / (r! * (n - 1)!)
Donde:
- n es el número total de objetos.
- r es el número de objetos que queremos seleccionar.
Resolviendo Problemas de Combinación
Para resolver problemas que involucran combinaciones, podemos seguir los siguientes pasos:
- Asegurarnos de que estamos tratando con un problema de combinación, donde el orden no importa.
- Determinar si se permite la repetición o no.
- Utilizar la fórmula adecuada según lo determinado en el paso anterior.
- Sustituir los valores conocidos en la fórmula y realizar las operaciones necesarias.
Por ejemplo, si queremos saber de cuántas formas diferentes podemos elegir un grupo de cuatro personas de un total de 20 personas, podemos seguir estos pasos:
- Sabemos que el orden de las personas no importa, por lo que estamos tratando con una combinación.
- En este caso, no se permite la repetición.
- Utilizamos la fórmula de combinación sin repetición: n! / (r! * (n - r)!).
- Como elegimos 4 de 20 personas, tenemos n = 20 y r = 4. Sustituyendo los valores en la fórmula, obtenemos:
20! / (4! (20 - 4)!) = 20! / (4! 16!) = 20 19 18 17 / (4 3 2 1) = 4,845
Por lo tanto, hay 4,845 formas diferentes de elegir un grupo de cuatro personas de un total de 20 personas.
En otro ejemplo, si queremos saber cuántos platos diferentes podemos pedir en un bar de sushi que ofrece 11 tipos diferentes de sushi y se nos permite elegir 3, podemos seguir estos pasos:
- Sabemos que el orden en el que elegimos los platos no importa, por lo que estamos tratando con una combinación.
- En este caso, se permite la repetición.
- Utilizamos la fórmula de combinación con repetición: (n + r - 1)! / (r! * (n - 1)!).
- Como elegimos 3 de 11 tipos de sushi, tenemos n = 11 y r = 3. Sustituyendo los valores en la fórmula, obtenemos:
(11 + 3 - 1)! / (3! (11 - 1)!) = 13! / (3! 10!) = 13 12 11 / (3 2 1) = 286
Por lo tanto, podemos pedir 286 platos diferentes al elegir 3 de entre 11 tipos de sushi, permitiendo la repetición.
Resumen de la Lección
En resumen, las combinaciones y permutaciones son conceptos matemáticos que se estudian al mismo tiempo debido a su similitud. Las combinaciones son colecciones de objetos donde el orden no importa, mientras que las permutaciones son disposiciones de objetos donde el orden sí importa.
Al resolver problemas de combinación, es importante determinar si se permite o no la repetición y utilizar la fórmula adecuada en cada caso. El factorial, representado por el símbolo "!", es utilizado en estas fórmulas para calcular el producto de todos los números enteros desde un número dado hasta 1.
Esperamos que esta lección te haya ayudado a comprender las combinaciones y permutaciones, así como las fórmulas utilizadas para resolver problemas relacionados con estos conceptos.