En este artículo resolveremos paso a paso ejercicios sobre programación lineal. Recordemos que, la programación lineal da respuesta a situaciones en las que se exige maximizar o minimizar funciones que se encuentran sujetas a determinadas limitaciones, que llamamos restricciones. Aplicaremos esta herramienda de las matemáticas para resolver problemas de optimización en áreas como en la industria, economía, etc.
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Vamos
Optimizan en la fabricación de lamparas
1Una compañía fabrica y venden dos modelos de lámpara L1 y L2. Para su fabricación se necesita un trabajo manual de 20 minutos para el modelo L1 y de 30 minutos para el L2; y un trabajo de máquina de 20 minutos para el modelo L1 y de 10 minutos para L2.
Se dispone para el trabajo manual de 100 horas al mes y para la máquina 80 horas al mes. Sabiendo que el beneficio por unidad es de 15 y 10 euros para L1 y L2, respectivamente, planificar la producción para obtener el máximo beneficio.
1 Elección de las incógnitas.
= nº de lámparas L1
= nº de lámparas L2
2 Función objetivo
3 Restricciones
Pasamos los tiempos a horas
20 min = 1/3 h
30 min = 1/2 h
10 min = 1/6 h
Para escribir las restricciones vamos a ayudarnos de una tabla:
| L1 | L2 | Tiempo | |
|---|---|---|---|
| Manual | 1/3 | 1/2 | 100 |
| Máquina | 1/3 | 1/6 | 80 |
Como el número de lámparas son números naturales, tendremos dos restricciones más:
4 Hallar el conjunto de soluciones factibles
Tenemos que representar gráficamente las restricciones.
Al ser e , trabajaremos en el primer cuadrante.
Representamos las rectas, a partir de sus puntos de corte con los ejes.
Resolvemos gráficamente la inecuación: 
; para ello, tomamos un punto del plano, por ejemplo el 
.
La zona de intersección de las soluciones de las inecuaciones sería la solución al sistema de inecuaciones, que constituye el conjunto de las soluciones factibles.
5 Calcular las coordenadas de los vértices del recinto de las soluciones factibles.
La solución óptima si es única se encuentra en un vértice del recinto. Estos son las soluciones a los sistemas:
; 
; 
6 Calcular el valor de la función objetivo
En la función objetivo sustituimos cada uno de los vértices.
€
€
€Máximo
La solución óptima es fabricar 210 del modelo L1 y 60 del modelo L2 para obtener un beneficio de 3,750€.
Material escolar
2Con el comienzo del curso se va a lanzar unas ofertas de material escolar. Unos almacenes quieren ofrecer 600 cuadernos, 500 carpetas y 400 bolígrafos para la oferta, empaquetándolo de dos formas distintas; en el primer bloque pondrá 2 cuadernos, 1 carpeta y 2 bolígrafos; en el segundo, pondrán 3 cuadernos, 1 carpeta y 1 bolígrafo. Los precios de cada paquete serán 6.5 y 7 €, respectivamente. ¿Cuántos paquetes le conviene poner de cada tipo para obtener el máximo beneficio?
1 Elección de las incógnitas.
2 Función objetivo
3 Restricciones
| P1 | P2 | Disponibles | |
|---|---|---|---|
| Cuadernos | 2 | 3 | 600 |
| Carpetas | 1 | 1 | 500 |
| Bolígrafos | 2 | 1 | 400 |
4 Hallar el conjunto de soluciones factibles
5 Calcular las coordenadas de los vértices del recinto de las soluciones factibles.
6 Calcular el valor de la función objetivo
€
€
€Máximo
La solución óptima son 150 P1 y 100 P2 con la que se obtienen 1,675€.
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Optimización para la alimentación en granja
3En una granja de pollos se da una dieta, para engordar, con una composición mínima de 15 unidades de una sustancia A y otras 15 de una sustancia B. En el mercado sólo se encuentra dos clases de compuestos: el tipo X con una composición de una unidad de A y 5 de B, y el otro tipo, Y, con una composición de cinco unidades de A y una de B. El precio del tipo X es de 10 euros y del tipo Y es de 30 €. ¿Qué cantidades se han de comprar de cada tipo para cubrir las necesidades con un coste mínimo?
1 Elección de las incógnitas.
2 Función objetivo
3 Restricciones
 |  | Mínimo | |
|---|---|---|---|
| A | 1 | 5 | 15 |
| B | 5 | 1 | 15 |
4 Hallar el conjunto de soluciones factibles
5 Calcular las coordenadas de los vértices del recinto de las soluciones factibles.
6 Calcular el valor de la función objetivo
€
€
€Mínimo
El coste mínimo son 100€ para X=5/2 e Y=5/2.
Programación lineal en la elaboración de medicinas
4Se dispone de 600 g de un determinado fármaco para elaborar pastillas grandes y pequeñas. Las grandes pesan 40 g y las pequeñas 30 g. Se necesitan al menos tres pastillas grandes, y al menos el doble de pequeñas que de las grandes. Cada pastilla grande proporciona un beneficio de 2 € y la pequeña de 1 €. ¿Cuántas pastillas se han de elaborar de cada clase para que el beneficio sea máximo?
1 Elección de las incógnitas.
Número de pastillas grandes
Número de pastillas pequeñas
2 Función objetivo
3 Restricciones
4 Hallar el conjunto de soluciones factibles
Repasa estos conceptos con clases particulares matematicas Madrid.
5 Calcular las coordenadas de los vértices del recinto de las soluciones factibles.
6 Calcular el valor de la función objetivo
€
€
€ Máximo
El máximo beneficio es de 24€, y se obtiene fabricando 6 pastillas grandes y 12 pequeñas.
Ejercicio sobre ofertas de ropa
5Unos grandes almacenes desean liquidar 200 camisas y 100 pantalones de la temporada anterior. Para ello lanzan, dos ofertas, A y B. La oferta A consiste en un lote de una camisa y un pantalón, que se venden a 30 €; la oferta B consiste en un lote de tres camisas y un pantalón, que se vende a 50 €. No se desea ofrecer menos de 20 lotes de la oferta A ni menos de 10 de la B. ¿Cuántos lotes ha de vender de cada tipo para maximizar la ganancia?
1 Elección de las incógnitas.
nº de lotes de A
nº de lotes de B
2 Función objetivo
3 Restricciones
| A | B | Mínimo | |
|---|---|---|---|
| Camisas | 1 | 3 | 200 |
| Pantalones | 1 | 1 | 100 |
4Hallar el conjunto de soluciones factibles
5 Calcular las coordenadas de los vértices del recinto de las soluciones factibles.
6 Calcular el valor de la función objetivo
€
€
€
€Máximo
Con 50 lotes de cada tipo se obtiene una ganancia máxima de 4,000€.
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Producción de calculadoras
6Una compañía produce dos tipos de calculadora, el modelo C1 y el modelo C2. El tiempo de fabricación de las calculadoras es de 1 hora para el modelo C1 y de 4 horas para el modelo C2. El costo de fabricación del modelo C1 es de 30€ y el costo del modelo C2 es de 20€. La compañía dispone de 1600 horas para fabricar las calculadoras y de 18000€ para gastos viables. La ganancia en cada calculadora del modelo C1 es de 10€ y la ganancia para el modelo C2 es de 8€. ¿Cuál debe ser el plan de producción para garantizar la máxima ganancia?
1 Elección de las incógnitas.
nº de calculadoras C1
nº de calculadoras C2
2 Función objetivo
3 Restricciones
| C1 | C2 | Disponible | |
|---|---|---|---|
| Horas | 1 | 4 | 1600 |
| Gastos | 30 | 40 | 18000 |
4 Hallar el conjunto de soluciones factibles
5 Calcular las coordenadas de los vértices del recinto de las soluciones factibles.
Los vértices son: 
6 Calcular el valor de la función objetivo
€
€
€
€Máximo
Con 400 calculadoras del modelo C1 y con 300 calculadoras del modelo C2 se obtiene la máxima ganancia de 7200€.
7Un empresario desea vender 400 mesas y 200 sillas. Se ofrecen dos promociones, 1 y 2. La promoción 1 consiste en 1 mesa y en 1 silla, que se venden a 60€; la promoción 2 consiste en 3 mesas y en 1 silla, que se venden a 100€. No se desea ofrecer menos de 40 promociones de la oferta 1 ni menos de 20 promociones de la oferta 2. ¿Cuántas unidades debe producir la empresa para maximizar las ventas?
1 Elección de las incógnitas.
nº de promociones 1 (P1)
nº de promociones 2 (P2)
2 Función objetivo
3 Restricciones
| P1 | P2 | Disponibles | |
|---|---|---|---|
| Mesas | 1 | 3 | 400 |
| Sillas | 1 | 1 | 200 |
4Hallar el conjunto de soluciones factibles
5 Calcular las coordenadas de los vértices del recinto de las soluciones factibles.
Los vértices son: 
6 Calcular el valor de la función objetivo
€
€
€
€Máximo
Con 100 promociones de cada una se obtiene la ganancia máxima de 16000€.
Ventas de ollas
8Julián tiene un micro emprendimiento de ollas y pone a la venta una batería de cocina en dos presentaciones, una económica y otra de lujo. El gasto que tendrá de material es de 20€ para la económica y de 80€ para la de lujo. EL gasto de mano de obra es de 50€ para la económica y para la de lujo es de 80€. Julián dispone de 160,000€ para materiales y de 240,000€ para el pago de personal. Si la batería económica se vende en 100€ y la de lujo en 230€, ¿qué modelo de producción debe seguir Julián para que su venta sea máxima?
1 Elección de las incógnitas.
nº de baterías económicas
nº de baterías de lujo
2 Función objetivo
3 Restricciones
| Económica | Lujo | Disponible | |
|---|---|---|---|
| Material | 20 | 80 | 160,000 |
| Mano de obra | 50 | 80 | 240,000 |
4Hallar el conjunto de soluciones factibles
5 Calcular las coordenadas de los vértices del recinto de las soluciones factibles.
Los vértices son: 
y el vértice 
el cual se puede redondear al vértice 
ya que las cantidades solo pueden ser números enteros positivos.
6 Calcular el valor de la función objetivo
€
€
€
€Máximo
Con la producción y venta de 2667 baterías económicas y 1333 baterías de lujo, Julián obtendrá la máxima venta de 573,290€.
Siembra de maíz y cebada
9Un agricultor tiene 600 hectáreas en las que puede sembrar maíz o cebada y dispone de 800 horas de trabajo durante la temporada. Los márgenes de utilidad por hectárea para el maíz son de 60€ y para la cebada es de 70€. Los requerimientos laborales para trabajar en la siembra de maíz es de 1 hora por hectárea y en la siembra de cebada es de 2 horas por hectárea. ¿Cuántas hectáreas de cada cultivo debe sembrar para maximizar su utilidad?, ¿Cuál es la utilidad máxima?
1 Elección de las incógnitas.
nº de hectáreas de maíz
nº de hectáreas de cebada
2 Función objetivo
3 Restricciones
| Maíz | Cebada | Disponible | |
|---|---|---|---|
| Hectáreas | 1 | 1 | 600 |
| Horas | 1 | 2 | 800 |
4 Hallar el conjunto de soluciones factibles
5 Calcular las coordenadas de los vértices del recinto de las soluciones factibles.
Los vértices son: 
6 Calcular el valor de la función objetivo
€
€
€
€Máximo
El agricultor debe sembrar 400 hectáreas de maíz y 200 de cebada para obter la utilidad máxima de 38,000€.
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Transporte de trabajadores
10Una empresa decide, por el día del trabajador, llevar de paseo a la playa a 400 trabajadores (por lo menos). Para ello contrata a una compañía de transporte, la cual dispone de autobuses para 60 pasajeros y microbuses para 20 pasajeros. El precio de alquiler de cada autobús es de 250€ y de cada microbús de 200€. La compañía de transporte solo dispone ese día de 8 choferes profesionales. ¿Qué número de autobuses y microbuses deben contratarse para que el costo sea mínimo?
1 Elección de las incógnitas.
nº de autobuses
nº de microbuses
2 Función objetivo
3 Restricciones
| Autobueses | Micobuses | Disponibles | |
|---|---|---|---|
| Pasajeros | 60 | 20 | 400 |
| Choferes | 1 | 1 | 8 |
La primera desigualdad se debe a que al menos irán 400 empleados, pero podemos idear un plan de transporte en el que haya asientos disponibles siempre y cuando el coste sea el mínimo.
4 Hallar el conjunto de soluciones factibles
5 Calcular las coordenadas de los vértices del recinto de las soluciones factibles.
Los vértices son: 
y el vértice 
el cual se puede redondear al vértice 
ya que las cantidades solo pueden ser números enteros positivos.
6 Calcular el valor de la función objetivo
€
€
€Mínimo
Por lo tanto, con 7 autobuses con capacidad para 420 pasajeros la empresa gastará el mínimo de 1,750€
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