Dans le langage courant, nous utilisons souvent le mot "combinaison" sans réfléchir à l'importance de l'ordre des éléments. Par exemple, lorsque nous disons "Ma salade de fruits est une combinaison de pommes, raisins et bananes", l'ordre dans lequel nous avons placé les fruits n'a pas d'importance. Nous pourrions dire "bananes, raisins et pommes" ou "raisins, pommes et bananes", c'est la même salade.
Cependant, lorsque nous parlons de la combinaison d'un cadenas, l'ordre est important. Par exemple, si la combinaison du cadenas est "472", "724" ou "247" ne fonctionneraient pas. Il doit être exactement "4-7-2". En mathématiques, nous utilisons un langage plus précis :
- Si l'ordre n'a pas d'importance, il s'agit d'une combinaison.
- Si l'ordre a de l'importance, il s'agit d'une permutation.
En d'autres termes, une permutation est une combinaison ordonnée. Pour vous aider à vous en souvenir, pensez à "Permutation... Position".
Il existe deux types de permutations :
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Permutations avec répétition : Dans ce cas, le nombre d'options diminue à chaque étape. Par exemple, si vous voulez ordonner 16 boules de billard, après avoir choisi la première boule, vous ne pouvez pas la choisir à nouveau. Ainsi, votre première sélection a 16 possibilités, la suivante en a 15, puis 14, 13, etc. Le nombre total de permutations serait donc 16 × 15 × 14 × 13... = 20 922 789 888 000. Si vous ne voulez choisir que 3 boules, le calcul serait simplement 16 × 15 × 14 = 3 360. En général, la formule pour les permutations avec répétition est n^r, où n est le nombre d'éléments parmi lesquels vous pouvez choisir et r est le nombre d'éléments que vous choisissez.
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Permutations sans répétition : Dans ce cas, le nombre d'options diminue également à chaque étape. Par exemple, si vous voulez savoir de combien de façons différentes vous pouvez organiser 16 boules de billard, vous pouvez utiliser la formule n!/(n-r)!, où n est le nombre d'éléments parmi lesquels vous pouvez choisir et r est le nombre d'éléments que vous choisissez. Par exemple, pour choisir 3 boules parmi 16, le calcul serait 16!/(16-3)! = 16!/(13!) = 3 360.
Il existe également deux types de combinaisons :
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Combinations avec répétition : Ce sont les plus difficiles à expliquer, nous les aborderons plus tard.
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Combinations sans répétition : C'est ce qui se passe dans les loteries. Les numéros sont choisis un par un, et si vous avez les numéros gagnants (peu importe l'ordre), vous avez gagné ! La formule pour les combinaisons sans répétition est (n+r-1)!/(r!(n-1)!), où n est le nombre d'éléments parmi lesquels vous pouvez choisir et r est le nombre d'éléments que vous choisissez.
En résumé, les formules pour les différentes variantes de combinaisons et de permutations sont les suivantes :
- Permutations avec répétition : n^r
- Permutations sans répétition : n!/(n-r)!
- Combinations avec répétition : à expliquer plus tard
- Combinations sans répétition : (n+r-1)!/(r!(n-1)!)
Ces formules sont très utiles pour résoudre des problèmes de combinaisons et de permutations dans divers domaines, tels que les mathématiques, la statistique, la programmation et bien d'autres.
Exemple d'application des combinaisons et des permutations
Prenons un exemple concret pour illustrer l'utilisation des combinaisons et des permutations. Supposons que vous ayez une boîte de 10 bonbons différents et que vous vouliez choisir 3 bonbons pour les offrir à un ami. Combien de combinaisons différentes pouvez-vous former ?
Dans ce cas, nous avons 10 bonbons parmi lesquels choisir et nous en choisissons 3. De plus, l'ordre n'a pas d'importance, car peu importe dans quel ordre nous donnons les bonbons à notre ami. Nous utilisons donc la formule des combinaisons sans répétition : (n+r-1)!/(r!(n-1)!).
Dans notre exemple, n = 10 et r = 3. En utilisant la formule, nous obtenons :
(10+3-1)!/(3!(10-1)!) = 12!/(3!9!) = (12 × 11 × 10)/(3 × 2 × 1) = 220.
Il y a donc 220 combinaisons différentes possibles pour choisir 3 bonbons parmi les 10 disponibles.
Conclusion
Les combinaisons et les permutations sont des concepts mathématiques importants qui trouvent de nombreuses applications dans divers domaines. Comprendre la différence entre combinaison et permutation, ainsi que les formules associées, peut vous aider à résoudre des problèmes de choix et d'ordonnancement. Que ce soit pour organiser des boules de billard, choisir des bonbons ou résoudre des problèmes plus complexes, les combinaisons et les permutations sont des outils précieux à avoir dans votre boîte à outils mathématique.